সমান্তর ও গুণোত্তর অনুক্রম ও ধারা
১মূল ধারণা
এক লাইনে পুরো টপিক
সমান্তর = প্রতি ধাপে একই সংখ্যা যোগ, গুণোত্তর = প্রতি ধাপে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ; আর $n$-তম পদে পৌঁছাতে ধাপ লাগে $n - 1$টা।
এই একটা কথা থেকে যা বেরিয়ে আসে:
- $n$-তম পদ: সমান্তরে $t_n = a + (n-1)d$, গুণোত্তরে $t_n = a \cdot r^{n-1}$ — দুটোতেই ধাপ $n - 1$।
- কোন পদ / ধাপ গোনা: দুটো পদ দেওয়া থাকলে তাদের মাঝে ধাপ = পদ-নম্বরের পার্থক্য। সমান্তরে বিয়োগ করো, গুণোত্তরে ভাগ করো।
- সমান্তর ধারার যোগফল = গড় × পদসংখ্যা: $S_n = \frac{n}{2}(a + l)$ — প্রথম ও শেষ পদের গড় নিয়ে পদসংখ্যা দিয়ে গুণ।
- অসীম গুণোত্তর ধারা: প্রতি ধাপে যদি ছোট হতে থাকে ($|r| < 1$), ধারা কখনো শেষ হয় না তবু যোগফল থামে: $S_\infty = \frac{a}{1-r}$।
- $\log$ ধারা আসলে সমান্তর: $\log a, \log a^2, \log a^3, \dots$ ধারাটিতে সাধারণ অন্তর $= \log a$।
(আমাদের দেওয়া উদাহরণ) টাইট্রেশন ভাবো — প্রতিবার একই মাত্রা যোগ করো (25, 50, 75 mcg): সমান্তর ধারা। আর হাফ-লাইফ ভাবো — প্রতিবার একই ভগ্নাংশে কমে (100, 50, 25 mg): গুণোত্তর ধারা। হাফ-লাইফের টুকরোগুলো যোগ করলে 200 mg-এর বেশি কখনো হয় না — এটাই $S_\infty$।
২প্রশ্নের ধারা
কোন প্রশ্ন কতবার, শেষ কবে এসেছে
| ধরন | মোট (৪১-এ) | সাম্প্রতিক (৪৩–৫০তম + ৩৯বি/৪২বি/৪৮বি) | শেষ কবে |
|---|---|---|---|
| গুণোত্তর ধারা | ১১ | ৭ | ৪৯তম |
| সমান্তর ধারা | ১১ | ৪ | ৪৯তম |
| আদর্শ যোগফল ($\sum n$, $\sum n^2$, বিজোড়) | ১০ | ১ | ৪৪তম |
| অসীম গুণোত্তর ধারা | ৩ | ২ | ৫০তম |
| অন্যান্য (ফিবোনাচ্চি, পার্থক্যের ধারা) | ৫ | ০ | ২৪তম (বাতিল) |
| দ্বিপদী মধ্যপদ | ১ | ১ | ৫০তম |
৪১টি বিগত প্রশ্ন, প্রতি পরীক্ষায় গড়ে প্রায় ১ নম্বর। গুণোত্তর ধারা এখন সবচেয়ে বেশি আসছে: ৪৩তম থেকে ৭টি। অসীম গুণোত্তরও উঠছে। আদর্শ যোগফল বেশির ভাগ পুরোনো পরীক্ষায়। ফিবোনাচ্চি/পার্থক্যের ধারা আর আসছে না।
৩যা বুঝতেই হবে
যে কথাগুলো গোড়া থেকে বুঝতে হবে
প্রতিটাই মূল ধারণায় ফেরত যায়: "প্রতি ধাপে একই সংখ্যা যোগ/গুণ; $n$-তম পদে ধাপ $n - 1$টা।"
- সমান্তর বনাম গুণোত্তর আলাদা করো — শুধু দেখো প্রতি ধাপে কী হচ্ছে: যোগ (সমান্তর) না গুণ (গুণোত্তর)। ব্যস, পুরো টপিকের ভিত্তি এটা।
- $n - 1$ ধাপ, $n$ নয় — ১ম পদ থেকে $n$-তম পদে যেতে ধাপ লাগে $n - 1$টা। এই একটা ভুল থেকেই সবচেয়ে বেশি ভুল বিকল্প তৈরি হয় (৪২বি-৯: ৯৯ বনাম ১০০; ৩৯বি-১৫: ৮ বনাম ৯; ১৮-৪: ২১ বনাম ২২)।
- দুটো পদ দেওয়া, মাঝখানের ব্যবধান বের করো — $t_m / t_n = r^{m-n}$ (গুণোত্তর) বা $t_m - t_n = (m-n)d$ (সমান্তর)। ধাপ-সংখ্যাটা $(m - n)$ ভুল করলেই ফাঁদ: ৪৯-৯০-তে ৫ম → ৮ম = ৩ ধাপ ($r^3$), ৮ নয়।
- সমান্তর গড় বনাম গুণোত্তর গড় গুলিয়ে ফেলো না — সমান্তর গড় $= (a+b)/2$, গুণোত্তর গড় $= \sqrt{ab}$। ৪৪-৭৮-এ ১৮ ও ৭২-র গুণোত্তর গড় চাইছে, সমান্তর গড় (৪৫) ফাঁদ।
- অসীম গুণোত্তর ধারায় $r$-এর চিহ্ন ধরে রাখো — $S_\infty = a/(1-r)$। ৫০-৭৬-তে $r = -\frac{1}{2}$ (ঋণাত্মক), তাই $1 - r = \frac{3}{2}$, $S = -\frac{2}{3}$। $r$-এর চিহ্ন ভুললে উত্তর গুলিয়ে যায়।
- $\sum n^2 \neq (\sum n)^2$ — $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ মুখস্থ রাখো; $\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ হচ্ছে $\sum n^3$, ওটা ফাঁদ (৩১-২০, ২৭-১)।
- $\log$-ধারা = সমান্তর ধারা — $\log a, \log a^2, \log a^3, \dots$ ধারাটিতে $d = \log a$; গুণোত্তর নয় (৪৮বি-৩, ২৫-৭)।
৪সহজ থেকে কঠিন
প্রশ্নগুলো সহজ থেকে কঠিনের দিকে
কোনো প্রশ্নই বহু-ধাপের নয়। সর্বোচ্চ কঠিনতা ২, আর সেটাও সূত্র বসালেই শেষ।
| রাং | ধরন | উদাহরণ |
|---|---|---|
| ১ | পরের পদ বের করো (×, ÷ বা +) | ৪২বি-৫: ৩, ৯, ২৭, ৮১, ২৪৩ |
| ২ | সূত্রে $n$ বসাও ($n$-তম পদ, বা $n = ?$) | ৪২বি-৯: $5, 8, 11, \dots$ কত তম পদ ৩০২? → ১০০ |
| ৩ | দুটো পদ থেকে $r$ বা $d$ বের করো | ৪৯-৯০: ৫ম $= 32$, ৮ম $= 256$ → $r = $ ২ |
| ৪ | যোগফল (সমান্তর বা আদর্শ) | ৪৯-৮৫: $t_4 + t_{12} = 20$ → $S_{15} = $ ১৫০ |
| ৫ | অসীম গুণোত্তর ধারা | ৫০-৭৬: $-1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \dots = $ $-\frac{2}{3}$ |
| ৬ | দ্বিপদী (সিলেবাসের বাইরে) | ৫০-৭২: $(x^2 - 2 + 1/x^2)^7$ → মধ্যপদ ৮ম |
৫মুখস্থ রাখো
যে সূত্র না জানলেই নয়
| # | সূত্র | কখন লাগে |
|---|---|---|
| ১ | $t_n = a + (n-1)d$ | সমান্তর ধারার $n$-তম পদ |
| ২ | $n = \frac{l - a}{d} + 1$ | কত তম পদ / কতগুলো গুণিতক |
| ৩ | $S_n = \frac{n}{2}(a + l) = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d)$ | সমান্তর ধারার যোগফল |
| ৪ | $t_n = a \cdot r^{n-1}$ | গুণোত্তর ধারার $n$-তম পদ |
| ৫ | $\frac{t_m}{t_n} = r^{m-n}$ | দুটো পদ থেকে সাধারণ অনুপাত |
| ৬ | গুণোত্তর গড় $= \sqrt{ab}$; সমান্তর গড় $= \frac{a+b}{2}$ | গড় |
| ৭ | $S_\infty = \frac{a}{1-r},\quad |r| < 1$ | অসীম গুণোত্তর ধারা |
| ৮ | $1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2}$ | $\sum n$ |
| ৯ | $1 + 3 + \dots + (2n-1) = n^2$ | বিজোড় সংখ্যার যোগফল |
| ১০ | $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ | বর্গের যোগফল |
| ১১ | $S_n(\text{গুণোত্তর}) = \frac{a(r^n - 1)}{r - 1}$ | গুণোত্তর ধারার $n$ পদের যোগফল (রাখো, এখনো আসেনি) |
ফাঁদ: $\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ হচ্ছে $\sum n^3$-র সূত্র, $\sum n^2$-র নয়। দুটো গুলিয়ে ফেলো না।
৬উদাহরণ
আগে নিজে চেষ্টা, তারপর সমাধান · ৬টি প্রশ্ন
একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি ৩২ ও অষ্টম পদটি ২৫৬ হলে উক্ত ধারার সাধারণ অনুপাত কত?
আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর খোলো
ধাপ ১: ৫ম পদ থেকে ৮ম পদে কত ধাপ? $8 - 5 = $ ৩ ধাপ।
ধাপ ২: প্রতি ধাপে $r$ দিয়ে গুণ, তাহলে ৩ ধাপে $r^3$ দিয়ে গুণ হয়েছে:
ধাপ ৩: $r^3 = 8 \Rightarrow r = 2$।
উত্তর: গ) ২
সহজ পথ: দুটো পদের ভাগফল $= r^{(\text{ধাপের সংখ্যা})}$। ব্যস।
ফাঁদ: ৮ (বিকল্প ক) হচ্ছে $r^3$-এর মান — ওটাই সাধারণ অনুপাত মনে করে বসলে ভুল। ভাগফলকে ধাপ-সংখ্যার মূল নিতে হবে।
$5 + 8 + 11 + 14 + \dots$ ধারাটির কত তম পদ $302$?
আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর খোলো
ধাপ ১: সাধারণ অন্তর $d = 8 - 5 = 3$।
ধাপ ২: প্রথম পদ ($5$) থেকে $302$ পর্যন্ত কত ধাপ?
ধাপ ৩: $n - 1 = 99$, তাহলে $n = 99 + 1 = $ ১০০।
উত্তর: ঘ) ১০০ তম পদ
সহজ পথ: $n = (l - a)/d + 1$। তিনটা সংখ্যা বসাও, শেষ!
ফাঁদ: ৯৯ (বিকল্পে নেই, কিন্তু মনে হয় "ধাপ ৯৯ মানে ৯৯ তম পদ")। মনে রাখো — ধাপ ৯৯ মানে পদ ১০০। ১ তলা থেকে ১০ তলায় উঠতে সিঁড়ি ৯টা, তলা ১০টা।
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 50^2 = $ কত?
আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর খোলো
ধাপ ১: সূত্র: $1^2 + 2^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
ধাপ ২: $n = 50$ বসাও:
ধাপ ৩: $6$-কে $2 \times 3$ ভেঙে কাটো: $50/2 = 25$, $51/3 = 17$:
উত্তর: খ) ৪২৯২৫
সহজ পথ: $n(n+1)(2n+1)/6$ — এই একটা সূত্র মুখস্থ, ব্যস। হিসাবে কৌশল: $6$-কে ভেঙে আগে সরলীকরণ করো, তারপর গুণ।
ফাঁদ: $\sum n^3$-র সূত্র $\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ বসালে ভুল হবে — ৩১-২০-তে ঠিক এই ভুল সূত্রটাই বিকল্প ঘ হিসেবে বসানো আছে।
$-1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \dots$ অসীম ধারাটির যোগফল হবে:
আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর খোলো
ধাপ ১: প্রথম পদ $a = -1$। পরের পদ $\frac{1}{2}$। সাধারণ অনুপাত $r = \frac{1/2}{-1} = -\frac{1}{2}$।
ধাপ ২: $|r| = \frac{1}{2} < 1$ → অসীম যোগফল আছে।
ধাপ ৩:
উত্তর: ক) $-2/3$
সহজ পথ: $a/(1 - r)$। $r$ ঋণাত্মক হলে $1 - r = 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}$ → হর বড় হয়, যোগফল ছোট থাকে।
ফাঁদ: $r = +\frac{1}{2}$ ধরলে $1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$, তাহলে $S = -1/\frac{1}{2} = -2$ — বিকল্পে নেই। আবার চিহ্ন ফেলে দিলে $+2/3$ (বিকল্প গ) আসে।
৮, ১১, ১৭, ২৯, ৫৩ … পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর খোলো
ধাপ ১: পার্থক্যগুলো বের করো: $11 - 8 = 3$, $17 - 11 = 6$, $29 - 17 = 12$, $53 - 29 = 24$।
ধাপ ২: পার্থক্যের ধারা: $3, 6, 12, 24$ → প্রতিবার দ্বিগুণ (গুণোত্তর ধারা, $r = 2$)।
ধাপ ৩: পরের পার্থক্য $= 24 \times 2 = 48$। উত্তর $= 53 + 48 = $ ১০১।
উত্তর: ক) ১০১
সহজ পথ: পার্থক্যগুলো গুণোত্তর ধারা কি না দেখো → পরের পার্থক্য $r$ দিয়ে গুণ করো → পরের পদ।
ফাঁদ: নেই — শুধু পার্থক্যগুলো সঠিকভাবে বের করো।
একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি $-48$ এবং পঞ্চম পদটি $\frac{3}{4}$ হলে, সাধারণ অনুপাত কত?
আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর খোলো
ধাপ ১: ২য় থেকে ৫ম $= 5 - 2 = $ ৩ ধাপ।
ধাপ ২: $r^3 = t_5 / t_2 = \frac{3/4}{-48} = -\frac{1}{64}$।
ধাপ ৩: $r = \sqrt[3]{-\frac{1}{64}} = -\frac{1}{4}$।
উত্তর: ঘ) $-\frac{1}{4}$
সহজ পথ: ভাগফল ঋণাত্মক + বিজোড় ঘাত ⇒ $r$ ঋণাত্মক। এটুকু দেখলেই বিকল্প ক ও গ বাদ।
ফাঁদ: $+\frac{1}{4}$ (বিকল্প গ) — চিহ্ন ফেলে দিলে আসে। ২য় পদ ঋণাত্মক আর ৫ম পদ ধনাত্মক, মাঝে বিজোড় ধাপ → $r$ অবশ্যই ঋণাত্মক।
৭বস প্রশ্ন
সবচেয়ে কঠিন যা এসেছে · ২টি প্রশ্ন
দ্বিপদী, সিলেবাসের ভাষার বাইরে তবে ৫০তম-তে এসেছে, মাত্র ১৩% সঠিক।
$(x^2 - 2 + \frac{1}{x^2})^7$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কততম পদটি?
আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর খোলো
ধাপ ১: $x^2 - 2 + \frac{1}{x^2}$ কে চেনো — এটা কি পরিচিত?
ধাপ ২: তাহলে:
ধাপ ৩: $(a + b)^{14}$-এ পদ সংখ্যা $= 14 + 1 = 15$। বিজোড় সংখ্যক পদ হলে মধ্যপদ $= (15 + 1)/2 = $ ৮ম।
উত্তর: গ) অষ্টম
সহজ পথ: রাশিটাকে আগে সরল করো → পূর্ণবর্গ খোঁজো → আসল ঘাত বের করো → তারপর $(n + 1)$ পদ, মধ্যপদ।
ফাঁদ: "ঘাত $7$" দেখে $n = 7$ ধরলে পদ ৮টা, মধ্যপদ দুটো (৪র্থ ও ৫ম), আর হাতের কাছে "পঞ্চম" (বিকল্প ক)। কিন্তু ভেতরের রাশিটা নিজেই একটা পূর্ণবর্গ, তাই আসল ঘাত ১৪।
সিলেবাসের ভেতরে সবচেয়ে কঠিন, ২৮% সঠিক।
একটি সমান্তর ধারার 4র্থ এবং 12তম পদের যোগফল 20। ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত?
আগে নিজে চেষ্টা করো, তারপর খোলো
ধাপ ১: $t_4 = a + 3d$, $t_{12} = a + 11d$।
ধাপ ২: $S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2a + 14d)$। লক্ষ্য করো — $2a + 14d$ ঠিক ওটাই যেটা $20$!
উত্তর: খ) ১৫০
সহজ পথ: সমান্তর ধারায় $t_k + t_l = t_1 + t_{k+l-1}$ (প্রতিসাম্য)। $4 + 12 - 1 = 15$, তাই $t_4 + t_{12} = t_1 + t_{15} = 20$। আর $S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (t_1 + t_{15}) = \frac{15}{2} \times 20 = 150$। এই সহজ পথটা জানলে ৫ সেকেন্ডে হয়।
ফাঁদ: বিশেষ কোনো ভুল বিকল্প নেই, কিন্তু অনেকে $a$ ও $d$ আলাদা বের করতে গিয়ে আটকে যায় — অথচ $a$ ও $d$ আলাদা জানার দরকারই নেই!
৮ফাঁদ ও বইয়ের ভুল
যেখানে সবাই ভুল করে
ফাঁদ-তালিকা
| ফাঁদ | কী ঘটে | ভুল বিকল্প | প্রশ্ন |
|---|---|---|---|
| $n - 1$ ভুলে $n$ ধরা | ধাপ-সংখ্যায় ১ কম/বেশি | ৯৯ (সঠিক ১০০) | ৪২বি-৯ |
| $n - 1$ ভুলে $n$ ধরা | $n - 1 = 8$ পেয়েই $n = 8$ লিখে ফেলা | ৮ (বিকল্পে নেই; সঠিক ৯) | ৩৯বি-১৫ |
| ধাপ গুনতে ভুল | ৬ষ্ঠ → ১৫তম $= 9$ ধাপ, $10$ ধরলে $152$ | ১৫২ (বিকল্পে নেই; সঠিক ১৪২) | ৩৭-৭ |
| $n - 1$ ভুলে $n$ ধরা | ২১টি (সঠিক ২২) | ২১ | ১৮-৪ |
| $r^3$ কে $r$ ভাবা | ৩ ধাপের ভাগফল সরাসরি $r$ ধরা | ৮ (সঠিক ২) | ৪৯-৯০ |
| $r$-এর চিহ্ন হারানো | বিজোড় ঘাতে চিহ্ন থাকে | $+\frac{1}{4}$ (সঠিক $-\frac{1}{4}$) | ৩৫-১৪ |
| $r$-এর চিহ্ন (জোড় ঘাত) | জোড় ঘাতে চিহ্ন চলে যায়: $r^4 \geq 0$ | $-\sqrt{3}$ বা $-9\sqrt{3}$ (সঠিক $+3\sqrt{3}$) | ৪৫-৭৯ |
| $r$-এর চিহ্ন (অসীম ধারা) | $1 - r$-তে ভুল চিহ্ন | $2/3$ ($a$-র চিহ্ন হারালে); $r = +\frac{1}{2}$ ধরলে $-2$ (সঠিক $-2/3$) | ৫০-৭৬ |
| সমান্তর গড় বনাম গুণোত্তর গড় | সমান্তর গড় চাওয়া হয়নি, গুণোত্তর গড় চাওয়া হয়েছে | ৪৫ (সঠিক ৩৬) | ৪৪-৭৮ |
| $\sum n^2$ বনাম $\sum n^3$ সূত্র বদলানো | $\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2$ বসানো (ওটা ঘনের) | বিকল্প ঘ | ৩১-২০, ২৭-১ |
| $n = 100$ বনাম $99$ | ১ থেকে ৯৯ $= $ ৯৯ পদ, ১০০ নয় | ৫০৫০ (সঠিক ৪৯৫০) | ১৫-৫ |
| $n = 7$ বনাম $14$ (দ্বিপদী) | $(x^2 - 2 + 1/x^2)^7 = (x - 1/x)^{14}$, তাই ঘাত $14$, $7$ নয় | পঞ্চম (সঠিক অষ্টম) | ৫০-৭২ |
বইয়ের ভুল
| প্রশ্ন | চিহ্ন | কী হয়েছে |
|---|---|---|
| ২৪তম (বাতিল) · প্রশ্ন ৩ (ফিবোনাচ্চি ৮ম পদ) | ❌ | বইয়ের উত্তর ১৩ (৭ম পদ); সঠিক ২১ |
| ২৫তম · প্রশ্ন ৭ ($\log 2 + \log 4 + \dots$ ১০ পদ) | ⚠️ | উত্তর ঠিক ($55 \log 2$), কিন্তু বিকল্পে "$\log^2$" ছাপা — পড়তে হবে $\log 2$ |
| ২৪তম · প্রশ্ন ১ ($1^2 + 3^2 + \dots + 31^2$) | ⚠️ | সত্যিকার মান ৫৪৫৬, বিকল্পে নেই; বই নিজেই বর্গহীন ধরে ২৫৬ বলেছে |
| ৪৩তম · প্রশ্ন ৮০ ($1/4 - 1/6 + 1/9 - \dots$) | ⚠️ | ৪র্থ পদ "$2/7$" ছাপা, গুণোত্তর ধারায় হবে $-2/27$; $-2/27$ ধরলে উত্তর $3/20$ ঠিক |
| ২৪তম · প্রশ্ন ৮ ($9, 36, 81, 144, \dots$) | ⚠️ | পরের পদ $15^2 = 225$, কিন্তু বিকল্পে ২২৫ নেই; ২২২ সম্ভবত ছাপার ভুল |
৯MCQ কৌশল
পুরো অঙ্ক না কষেও উত্তর
MCQ-তে উত্তরটা সামনেই আছে, চারটার একটা। তাই অনেক সময় পুরো সমাধান লাগে না: বিকল্প যাচাই করলেই চলে। নিচের সাতটা কৌশল এই টপিকের আসল বিগত প্রশ্নে পরীক্ষা করা।
সূত্র-ওয়ালা বিকল্প ($x$, $n$ আছে) দেখলে $n = 1$, তারপর $n = 2$ বসাও। প্রশ্নের আসল মানের সাথে যে বিকল্প দুইবারই মেলে, সেটাই উত্তর।
- ৩৬-৮: $1 + 3 + \dots + (2x - 1)$। $x = 1$ হলে যোগফল $1$, $x = 2$ হলে $1 + 3 = 4$। শুধু $x^2$ দুটোই মেলায় ($1, 4$)। $x(x + 1)$ দেয় $2$, বাদ।
- ৩১-২০: $1^2 + \dots + x^2$। $x = 1 \to 1$, $x = 2 \to 5$। বিকল্প ক দেয় $1$ আর $5$ ✓; বিকল্প ঘ দেয় $1$ আর $9$, বাদ।
- ৪৪-৭৯: $1 - 1 + 1 - \dots$ ($n$ পদ)। $n = 1 \to 1$, $n = 2 \to 0$। শুধু $\frac{1}{2}[1 - (-1)^n]$ দেয় $1$ আর $0$।
সমাধান না করে প্রতিটা বিকল্প প্রশ্নে বসাও; যেটা খাটে, সেটাই উত্তর।
- ৪৪-৭৬: $-5, p, q, 16$ সমান্তর। বিকল্প খ ($2, 9$) বসাও: $-5, 2, 9, 16$। প্রতি ধাপে $+7$, ঠিক আছে ✓।
- ৩৭-৯: ৩য় পদ $20$, ৬ষ্ঠ পদ $160$, প্রথম পদ? বিকল্প ঘ ($5$) বসাও: $5$ থেকে ২ ধাপে $20$, তাই প্রতি ধাপে $\times 2$; তাহলে ৬ষ্ঠ পদ $= 5 \times 2^5 = 160$ ✓।
- ৪২বি-৯: $5, 8, 11, \dots$ কততম পদ $302$? বিকল্প ঘ (১০০তম): $5 + 99 \times 3 = 302$ ✓।
গুণোত্তর ধারায় বিজোড় সংখ্যক ধাপে চিহ্ন বদলাতে পারে, জোড় সংখ্যক ধাপে কখনো বদলায় না।
- ৩৫-১৪: ২য় পদ $-48$, ৫ম পদ $+3/4$। চিহ্ন বদলেছে, তাই সাধারণ অনুপাত ঋণাত্মক: শুধু খ আর ঘ বাকি থাকে। ৩ ধাপে $64$ ভাগের $1$ হয়েছে, প্রতি ধাপে $4$ ভাগের $1$, তাই $-1/4$।
- ৪৫-৭৯: ১ম পদ ধনাত্মক, ৫ম পদ তার থেকে ৪ ধাপ দূরে (জোড়), তাই ৫ম পদও ধনাত্মক: $-\sqrt{3}$ আর $-9\sqrt{3}$ সঙ্গে সঙ্গে বাদ।
আসল মানটা মোটামুটি কত হবে, আগে আন্দাজ করো; অনেক দূরের বিকল্প বাদ।
- ২৭-১: $1^2 + \dots + 50^2$। মোটামুটি $50^3 \div 3 \approx 41{,}700$। সবচেয়ে কাছে ৪২৯২৫ ✓।
- ৪১-২: $0.12 + 0.0012 + \dots \approx 0.1212$। $4/33 = 0.1212$ ✓; $4/99 = 0.04$, বাদ।
- ৪৪-৭৮: গুণোত্তর গড় সবসময় দুই সংখ্যার মাঝে থাকে, আর সমান্তর গড়ের চেয়ে ছোট হয়। $18$ আর $72$-এর সমান্তর গড় $45$, তাই উত্তর $45$-এর কম, $18$-এর বেশি: শুধু $36$।
চিহ্ন পাল্টাপাল্টি হলে প্রথম দুই-তিনটা আংশিক যোগফল দেখো; আসল যোগফল তাদের মাঝেই থাকে।
- ৫০-৭৬: $-1$, তারপর $-1 + \frac{1}{2} = -0.5$, তারপর $-0.75$। যোগফল $-1$ আর $-0.5$-এর মাঝে: শুধু $-2/3$ ($\approx -0.67$) সেখানে পড়ে ✓। ধনাত্মক দুটো আর $-3/2$ সঙ্গে সঙ্গে বাদ।
- ৪৩-৮০: $0.25$, তারপর $0.083$, তারপর $0.19$। যোগফল $0.08$ আর $0.25$-এর মাঝে: শুধু $3/20 = 0.15$ ✓।
পদসংখ্যা বিজোড় হলে একটাই মাঝের পদ থাকে, আর যোগফল = পদসংখ্যা × সেই পদ।
- ৪৯-৮৫: ৪র্থ + ১২তম $= 20$, তাই তাদের মাঝের পদ (৮ম) $= 10$। প্রথম ১৫ পদের মাঝের পদও ৮ম। যোগফল $= 15 \times 10 = 150$ ✓।
- ৩৮-১২: প্রথম ৫ পদের যোগফল $75$, তাই মাঝের পদ (৩য়) $= 15$। ৫ম পদ $18$, অর্থাৎ ২ ধাপে $+3$, প্রতি ধাপে $1.5$। প্রথম পদ $= 15 - 2 \times 1.5 = 12$ ✓।
গুণোত্তর ধারায় পদগুলোকে একই সংখ্যার ঘাত হিসেবে লিখলে ঘাতগুলো সমান্তর হয়ে যায়; তখন শুধু গুনতে হয়।
- ৩৯বি-১৫: $1/\sqrt{2}, 1, \sqrt{2} = (\sqrt{2})^{-1}, (\sqrt{2})^0, (\sqrt{2})^1$। ঘাত সবসময় পদ নম্বরের চেয়ে $2$ কম। $8\sqrt{2} = (\sqrt{2})^7$, তাই পদ নম্বর $7 + 2 = 9$ ✓।
- ৪৭-১৬৯: $27, 9 = 3^3, 3^2, \dots$ ঘাত $= 4 - $ পদ নম্বর। ১০ম পদ $= 3^{-6} = 1/729$ ✓।
কখন উত্তর দেবে, কখন ছেড়ে দেবে (ভুলে $-০.৫$)
- দুটো বিকল্প বাদ দিতে পারলে উত্তর দাও। বাকি দুটোর একটা আন্দাজে বাছলে গড়ে লাভ $+০.২৫$।
- একটা বাদ দিতে পারলে লাভ-ক্ষতি সমান (গড়ে ০)। মন যেদিকে বেশি ঝুঁকছে, তবেই দাও।
- কিছুই বাদ দিতে না পারলে ছেড়ে দাও। চারটার মধ্যে আন্দাজ করলে গড়ে ক্ষতি $-০.১২৫$।
এই টপিকে কৌশল ৩, ৪ আর ৫ দিয়ে প্রায় সবসময় দুটো বিকল্প বাদ যায়, তাই এখানে ছেড়ে দেওয়ার প্রশ্ন কমই আসবে।
১০মাস্টারি সেট
এগুলো পারলে পুরো টপিক তোমার · ১৩টি প্রশ্ন
এই ১৩টা প্রশ্ন গোড়া থেকে বুঝে নিজে করতে পারলে এই টপিকের যেকোনো প্রশ্ন তুমি পারবে। প্রশ্ন আরও আছে (সব বিগত প্রশ্নে ৪১টা), কিন্তু সেগুলো এই ১৩টারই রূপান্তর। প্রতিটাতে মূল ধারণা মনে রাখো: "সমান্তর = প্রতি ধাপে একই সংখ্যা যোগ, গুণোত্তর = প্রতি ধাপে একই সংখ্যা দিয়ে গুণ; আর $n$-তম পদে পৌঁছাতে ধাপ লাগে $n - 1$টা।"
$5+8+11+14+\dots$ ধারাটির কত তম পদ $302$?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ) ১০০ তম পদ
$d = 8 - 5 = 3$। ধাপ সংখ্যা $= (302 - 5)/3 = 99$। $n - 1 = 99 \Rightarrow n = 100$।
সহজ পথ: $n = (l - a)/d + 1 = 297/3 + 1 = 100$।
ফাঁদ: ৯৯ — ধাপ ৯৯ মানে পদ ১০০, ৯৯ নয়।
১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এই দুটি সংখ্যা সহ) কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ) ২২
৪-এর গুণিতক: $12, 16, 20, \dots, 96$ — সমান্তর ধারা, $d = 4$। $n = (96 - 12)/4 + 1 = 84/4 + 1 = 21 + 1 = 22$।
ফাঁদ: ২১ — $+1$ ভুলে যাওয়া (দুই প্রান্তের সংখ্যাও গুনতে হয়)।
একটি সমান্তর ধারার 4র্থ এবং 12তম পদের যোগফল 20। ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ) ১৫০
$t_4 + t_{12} = (a + 3d) + (a + 11d) = 2a + 14d = 20$। $S_{15} = \frac{15}{2} \cdot (2a + 14d) = \frac{15}{2} \times 20 = 150$।
সহজ পথ: সমান্তর ধারায় $t_4 + t_{12} = t_1 + t_{15}$ (প্রতিসাম্য: $4 + 12 = 1 + 15$)। $S_{15} = \frac{15}{2}(t_1 + t_{15}) = \frac{15}{2} \times 20 = 150$। ৫ সেকেন্ডে হয়।
ফাঁদ: $a$ ও $d$ আলাদা বের করতে গিয়ে আটকে যাওয়া — দরকার নেই।
একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি $-48$ এবং পঞ্চম পদটি $\frac{3}{4}$ হলে, সাধারণ অনুপাত কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ) $-\frac{1}{4}$
২য় থেকে ৫ম $= 3$ ধাপ। $r^3 = t_5/t_2 = (3/4)/(-48) = -1/64$। $r = \sqrt[3]{-1/64} = -1/4$।
সহজ পথ: ভাগফল ঋণাত্মক + বিজোড় ঘাত ⇒ $r$ ঋণাত্মক।
ফাঁদ: $+1/4$ (বিকল্প গ) — চিহ্ন ফেলে দিলে আসে। ২য় পদ ঋণাত্মক আর ৫ম পদ ধনাত্মক, মাঝে বিজোড় ধাপ → $r$ অবশ্যই ঋণাত্মক।
$\frac{1}{\sqrt{2}},\ 1,\ \sqrt{2}$ ধারাটির কোন পদ $8\sqrt{2}$ হবে?
উত্তর দেখো
উত্তর: ক) ৯ তম পদ
$a = 1/\sqrt{2}$, $r = 1 \div (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$। $t_n = (1/\sqrt{2}) \cdot (\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2}$। $(\sqrt{2})^{n-1} = 8\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 16 = (\sqrt{2})^8$। $n - 1 = 8 \Rightarrow n = 9$।
সহজ পথ: সব কিছু $\sqrt{2}$-এর ঘাতে লেখো, ঘাত সমীকরণ করো।
ফাঁদ: $n - 1 = 8$ পেয়ে $n = 8$ ধরা — ধাপ ৮, পদ ৯।
১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় কোনটি?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ) ৩৬
গুণোত্তর গড় $= \sqrt{18 \times 72} = \sqrt{1296} = 36$।
ফাঁদ: ৪৫ (বিকল্প ক) — ওটা সমান্তর গড় $= (18 + 72)/2 = 45$। গুণোত্তর গড় চাইছে, সমান্তর গড় নয়।
$\log 2 + \log 4 + \log 8 + \dots$ ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ) $55 \log 2$
$\log 2 = 1 \cdot \log 2$, $\log 4 = 2 \cdot \log 2$, $\log 8 = 3 \cdot \log 2$, … — সমান্তর ধারা ($d = \log 2$)। যোগফল $= (1 + 2 + \dots + 10) \cdot \log 2 = 55 \cdot \log 2$।
সহজ পথ: $\sum_{k=1}^{10} k = 10 \times 11/2 = 55$।
ফাঁদ: $45 \log 2$ (বিকল্প ক) — $\sum 1 \dots 9 = 45$, এক পদ কম।
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + 50^2 = $ কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ) ৪২৯২৫
সূত্র: $n(n+1)(2n+1)/6$, $n = 50$। $50 \times 51 \times 101 / 6$। $6 = 2 \times 3$ → $50/2 = 25$, $51/3 = 17$ → $25 \times 17 \times 101 = 42925$।
ফাঁদ: $\left\{\frac{n(n+1)}{2}\right\}^2 = \sum n^3$ ভেবে বসলে ভুল সূত্র — ৩১-২০-তে ঠিক এই ফাঁদটা বিকল্প ঘ-তে আছে।
১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১ … ধারাটির দশম পদ কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ) ৫৫
পার্থক্য: $2, 3, 4, 5, \dots$ → $t_n = n(n+1)/2$ (ত্রিভুজ সংখ্যা)। $t_{10} = 10 \times 11/2 = 55$।
ফাঁদ: ৪৫ (বিকল্প ক) — ওটা $t_9 = 9 \times 10/2 = 45$।
$1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + \dots + n$ সংখ্যক পদের যোগফল হবে —
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ) $\frac{1}{2}[1-(-1)^n]$
$n$ বিজোড়: $1 - 1 + \dots + 1 = 1$। $n$ জোড়: $1 - 1 + \dots - 1 = 0$। $\frac{1}{2}[1 - (-1)^n]$ → $n$ বিজোড়ে $\frac{1}{2}(1+1) = 1$ ✓, $n$ জোড়ে $\frac{1}{2}(1-1) = 0$ ✓।
ফাঁদ: বিকল্প গ) $[1 + (-1)^n]$ → $n$ জোড়ে $2$ দেয়, ভুল।
$-1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} + \dots$ অসীম ধারাটির যোগফল হবে:
উত্তর দেখো
উত্তর: ক) $-2/3$
$a = -1$, $r = (1/2)/(-1) = -1/2$। $|r| = 1/2 < 1$ → $S_\infty$ আছে। $S_\infty = \frac{-1}{1 - (-1/2)} = \frac{-1}{3/2} = -2/3$।
ফাঁদ: $r = +1/2$ ধরলে $S = -1/(1/2) = -2$ (বিকল্পে নেই)। চিহ্ন ফেলে দিলে $+2/3$ (বিকল্প গ) আসে।
৮, ১১, ১৭, ২৯, ৫৩ … পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ক) ১০১
পার্থক্য: $11-8 = 3$, $17-11 = 6$, $29-17 = 12$, $53-29 = 24$। পার্থক্যের ধারা $3, 6, 12, 24$ → গুণোত্তর ধারা ($r = 2$)। পরের পার্থক্য $= 24 \times 2 = 48$ → $53 + 48 = 101$।
সহজ পথ: পার্থক্যগুলো গুণোত্তর ধারা কি না দেখো, হলে পরেরটা $r$ দিয়ে গুণ করো।
$(x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}})^{7}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কততম পদটি?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ) অষ্টম
$x^2 - 2 + 1/x^2 = (x - 1/x)^2$ (পূর্ণবর্গ)। ঘাত $= 2 \times 7 = 14$ → $(x - 1/x)^{14}$। পদ সংখ্যা $= 14 + 1 = 15$ (বিজোড়), মধ্যপদ $= (15 + 1)/2 = $ ৮ম।
ফাঁদ: ঘাত $7$ দেখে $n = 7$ ধরলে পদ ৮, মধ্যপদ ৪র্থ ও ৫ম → "পঞ্চম" (বিকল্প ক) বেছে নেওয়া।
১১সব বিগত প্রশ্ন
সব বিগত প্রশ্ন, উত্তরসহ · ৪১টি প্রশ্ন
গুণোত্তর ধারা (১১টি)
নিচের ধারার শেষ সংখ্যা কত? ৩, ৯,২৭,৮১.......?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. ২৪৩
প্রতি ধাপে ×3: 81 × 3 = 243।
$\frac{1}{\sqrt{2}}\ , 1, \sqrt{2}$ ধারাটির কোন পদ $8\sqrt{2}$ হবে ?
উত্তর দেখো
উত্তর: ক. ৯ তম পদ
a = 1/√2, r = √2; (1/√2)(√2)ⁿ⁻¹ = 8√2 ⇒ (√2)ⁿ⁻¹ = 16 = (√2)⁸ ⇒ n − 1 = 8, n = 9।
একটি গুণোত্তর ধারার পঞ্চম পদটি ৩২ ও অষ্টম পদটি ২৫৬ হলে উক্ত ধারার সাধারণ অনুপাত কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ) ২
৫ম থেকে ৮ম = ৩ ধাপ: r³ = 256/32 = 8 ⇒ r = 2 (৮ নিলে r³-কে r ভাবা হল)।
নিচের সিরিজের ফাঁকা জায়গায় কোন সংখ্যা হবে? 243, 81, ___ , 9, 3, 1
উত্তর দেখো
উত্তর: খ) 27
প্রতি ধাপে ÷3 (r = 1/3): 81 ÷ 3 = 27।
একটি গুণোত্তর ধারার প্রথম ও দ্বিতীয় পদ যথাক্রমে 27 এবং 9, তাহলে ধারাটির দশম পদ কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ) $1/729$
a = 27, r = 1/3; t₁₀ = 27·(1/3)⁹ = 3³/3⁹ = 1/3⁶ = 1/729।
$1/\sqrt{3}, - 1, \sqrt{3}, .........$ ধারাটির পঞ্চম পদ কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ) $3\sqrt{3}$
r = −1 ÷ (1/√3) = −√3; t₅ = a·r⁴ = (1/√3)·9 = 3√3 (জোড় ঘাত, তাই চিহ্ন +)।
১৮ এবং ৭২ এর গুণোত্তর গড় কোনটি?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ) ৩৬
গুণোত্তর গড় = √(18 × 72) = √1296 = 36 (৪৫ হল সমান্তর গড়, ফাঁদ)।
একটি গুণোত্তর অনুক্রমে তৃতীয় পদটি হয় 20 এবং ষষ্ঠ (৬-তম) পদটি 160 হলে প্রথম পদটি কত ?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ. 5
৩য় থেকে ৬ষ্ঠ = ৩ ধাপ: r³ = 160/20 = 8 ⇒ r = 2; a = t₃/r² = 20/4 = 5।
একটি গুণোত্তর অনুক্রমের দ্বিতীয় পদটি - 48 এবং পঞ্চম পদটি $\frac{3}{4}$ হলে, সাধারণ অনুপাত কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ. $-\frac{1}{4}$
২য় থেকে ৫ম = ৩ ধাপ: r³ = (3/4)/(−48) = −1/64 ⇒ r = −1/4 (বিজোড় ঘাত, চিহ্ন থাকে)।
০.০৩, ০.১২, ০.৪৮ শূন্যস্থানে সংখ্যাটি কত হবে?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ. ১.৯২
প্রতি ধাপে ×4: 0.48 × 4 = 1.92।
লুপ্ত সংখ্যাটি কত? ৮১, ২৭...... ৩. ১
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. ৯
প্রতি ধাপে ÷3: 27 ÷ 3 = 9, তারপর 3, 1।
সমান্তর ধারা (১১টি)
$5+8+11+14+....$ধারাটির কত তম পদ $302$?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ. $100$ তম পদ
d = 3; n = (302 − 5)/3 + 1 = 99 + 1 = 100 (৯৯ = +1 ভুলে যাওয়া)।
$\log 2 + \log 4 + \log 8 + \dots$ ধারাটির অষ্টম পদ কোনটি?
উত্তর দেখো
উত্তর: (ক) $\log 256$
log 2, 2 log 2, 3 log 2, … একটি সমান্তর ধারা (d = log 2); t₈ = 8 log 2 = log 2⁸ = log 256।
একটি সমান্তর ধারার 4র্থ (চতুর্থ) এবং 12 তম পদের যোগফল 20 । ঐ ধারার প্রথম 15 পদের যোগফল কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ) $150$
t₄ + t₁₂ = 2a + 14d = 20; S₁₅ = 15/2·(2a + 14d) = 15/2 × 20 = 150 (সহজ পথ: 4 + 12 = 1 + 15, তাই t₁ + t₁₅ = 20)।
যদি -5, p,q,16 সমান্তর অনুক্রমে থাকে, তাহলে p ও q এর মান হবে যথাক্রমে -
উত্তর দেখো
উত্তর: খ) 2,9
−5 থেকে 16 = ৩ ধাপ: 3d = 21 ⇒ d = 7; p = 2, q = 9।
$\cos \left(\frac{n\pi}{2}\right)$ অনুক্রমটির চতুর্থ পদ কোনটি?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. 1
n = 4 বসাও: cos(4π/2) = cos 2π = 1। এখানে সূত্র লাগে না, শুধু n বসাও।
একটি সমান্তর ধারার অনুক্রমে 5 তম পদটি 18 এবং প্রথম 5 টি পদের যোগফল 75 হলে প্রথম পদটি কত ?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ. ১২
S₅ = 5/2·(a + t₅) ⇒ 75 = 5/2·(a + 18) ⇒ a + 18 = 30 ⇒ a = 12।
একটি সমান্তর অনুক্রমে সাধারণ অন্তর 10 এবং 6 তম পদটি 52 হলে 15 তম পদটি ?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. 142
৬ষ্ঠ থেকে ১৫তম = ৯ ধাপ: t₁₅ = 52 + 9 × 10 = 142।
$\log 2+\log 4+\log 8+......$ ধারাটির প্রথম দশটি পদের সমষ্টি কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. $55\log 2$ (বিকল্পে log² ছাপা, পড়তে হবে log 2)
log 2ᵏ = k log 2; Σ(k = 1…10) k = 55 ⇒ 55 log 2।
কোনো সমান্তর প্রগমনে প্রথম দুটি সংখ্যা যদি ৫ ও ১৭ হয়, তবে তৃতীয় সংখ্যাটি হবে?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ. ২৯
d = 17 − 5 = 12; 17 + 12 = 29।
১২ ও ৯৬ এর মধ্যে (এই দুটি সংখ্যা সহ) কয়টি সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ. ২২
৪-এর গুণিতক 12, 16, …, 96 একটি সমান্তর ধারা (d = 4): (96 − 12)/4 + 1 = 21 + 1 = 22।
পরপর দশটি সংখ্যার প্রথম ৫টি যোগফল ৫৬০ হলে, শেষ ৫টি যোগফল কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ক. ৫৮৫
পরপর সংখ্যা: শেষ ৫টির প্রতিটি প্রথম ৫টির সংশ্লিষ্ট সংখ্যার চেয়ে ৫ বেশি ⇒ 560 + 5 × 5 = 585।
প্রমিত যোগফল (১০টি)
1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... + n সংখ্যক পদের যোগফল হবে -
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ) $(1/2)[1-(-1)^{n}]$
n বিজোড় হলে যোগফল 1, জোড় হলে 0; (1/2)[1 − (−1)ⁿ] দুটোই দেয় (গুণোত্তর ধারা: a = 1, r = −1)। গ) জোড় n-এ 2 দেয়, ভুল।
$1 + 3 + 5 +------+ (2x - 1)$ কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ. $x^2$
প্রথম x-টি বিজোড় সংখ্যার যোগফল = x²।
১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১ .................ধারাটির দশম পদ কত ?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. ৫৫
ত্রিভুজ সংখ্যা: tₙ = n(n + 1)/2 ⇒ t₁₀ = 55 (৪৫ = ৯ম পদ)।
$1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots\cdots + x^2$ এর মান কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ক. $\frac{x(x+1)(2x+1)}{6}$
বর্গের যোগফলের সূত্র; ঘ) হল ঘনের যোগফল।
$১^{২}+২^{২}+৩^{২}+..... +৫০^{২} =$ কত ?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. ৪২৯২৫
50·51·101/6 = 42925।
১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১----- ধারাটির দশম পদ?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. ৫৫
৩২তম · প্রশ্ন ৪-এর হুবহু পুনরাবৃত্তি (৩২তম = ২৬তম, একই সংখ্যা ও বিকল্প)।
$1+2+3+4+...........+99 =$ কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ঘ. 4950
99 × 100/2 = 4950।
$১^{২}+ ৩^{২} + ৫^{২} +............+ ৩১^{২}$ সমান কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: প্রশ্নে ত্রুটি: সঠিক মান ৫৪৫৬, বিকল্পে নেই; বইয়ের উদ্দিষ্ট খ. ২৫৬
বর্গ ধরলে: ১৬টি বিজোড় সংখ্যা, Σ(2k − 1)² = 16·31·33/3 = 5456। বর্গহীন 1 + 3 + … + 31 = 16² = 256।
১ হতে ১০০ পর্যন্ত সংখ্যা গুলোর যোগফল কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ. ৫০৫০
100 × 101/2 = 5050।
১ থেকে ৯৯ পর্যন্ত সংখ্যার যোগফল কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ. ৪৯৫০
99 × 100/2 = 4950 (২৫তম · প্রশ্ন ৬-এর একই প্রশ্ন; ৫০৫০ = n = 100 নেওয়া)।
অসীম গুণোত্তর ধারা (৩টি)
$- 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} +$ অসীম ধারাটির যোগফল হবে :
উত্তর দেখো
উত্তর: ক) $- 2/3$
a = −1, r = −1/2 (|r| < 1); S∞ = −1/(1 + 1/2) = −2/3।
1/4 - 1/6 + 1/9 - 2/7 +...... ধারাটির অসীম পদের সমষ্টি কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: খ) $S_{\infty} = 3/20$ (৪র্থ পদ −2/27 ধরে)
a = 1/4, r = (−1/6)/(1/4) = −2/3; S∞ = (1/4)/(1 + 2/3) = 3/20।
০.১২ + ০.০০১২ + ০.০০০০১২ +......ধারাটির অসীম পদ পর্যন্ত যোগফল-
উত্তর দেখো
উত্তর: ক. $\frac{৪}{৩৩}$
a = 0.12, r = 0.01; S∞ = 0.12/0.99 = 12/99 = 4/33 (একই জিনিস: 0.121212… = 12/99)।
অন্যান্য সংখ্যা ধারা (৫টি)
১, ১, ২, ৩, ৫, ৮ ...... এই সংখ্যা পরম্পরায় অষ্টম পদ কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: বইয়ের উত্তর ভুল: সঠিক ক. ২১
ফিবোনাচ্চি: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 ⇒ ৮ম পদ 21 (১৩ = ৭ম পদ)।
৯, ৩৬, ৮১, ১৪৪ ...এর পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: সঠিক ২২৫, বিকল্পে নেই; খ. ২২২ = ২২৫-এর ছাপার ভুল
3², 6², 9², 12² ⇒ পরের পদ 15² = 225।
১, ২, ৩, ৫, ৮, ১৩, ২১, ৩৪....... ধারাটির পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ক. ৫৫
ফিবোনাচ্চি: 21 + 34 = 55।
৮, ১১, ১৭, ২৯, ৫৩....পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: ক. ১০১
পার্থক্য 3, 6, 12, 24 প্রতিবার দ্বিগুণ ⇒ পরেরটা 48: 53 + 48 = 101।
১৯, ৩৩, ৫১, ৭৩- পরবর্তী সংখ্যাটি কত?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ. ৯৯
পার্থক্য 14, 18, 22 (প্রতিবার +4) ⇒ পরেরটা 26: 73 + 26 = 99।
দ্বিপদী বিস্তৃতির মধ্যপদ (১টি)
$(x^{2} - 2 + \frac{1}{x^{2}})^{7}$ এর বিস্তৃতিতে মধ্যপদ কততম পদটি?
উত্তর দেখো
উত্তর: গ) অষ্টম
x² − 2 + 1/x² = (x − 1/x)² ⇒ (x − 1/x)¹⁴: ১৫টি পদ, মধ্যপদ ৮ম (n = 7 ধরলে ভুল)।
১২ভিডিও ও Quizlet
ক্লাসের ভিডিও আর কার্ড
ভিডিও শীঘ্রই আসছে
Quizlet সেট শীঘ্রই আসছে